基本导数公式

经常记不住所以总结了一下，不会时可以瞄一眼。

常数函数

$$(c)’ = 0 \quad (c \text{ 为常数})$$

幂函数

$$(x^n)’ = nx^{n-1} \quad (n \text{ 为实数})$$

指数函数

$$(e^x)’ = e^x$$

对数函数

$$(\ln x)’ = \frac{1}{x}$$

三角函数

$$
\begin{aligned}
(\sin x)’ &= \cos x \
(\cos x)’ &= -\sin x \
(\tan x)’ &= \sec^2 x \
(\cot x)’ &= -\csc^2 x \
(\sec x)’ &= \sec x \tan x \
(\csc x)’ &= -\csc x \cot x
\end{aligned}
$$

导数的运算规则

加法规则

$$(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x)$$

减法规则

$$(f(x) - g(x))’ = f’(x) - g’(x)$$

乘法规则

$$(f(x) \cdot g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$$

除法规则

$$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2}$$

链式法则

$$(f(g(x)))’ = f’(g(x)) \cdot g’(x)$$

高阶导数

二阶导数

$$(f(x))’’ = f’’(x)$$

n 阶导数

$$(f(x))^{(n)} = f^{(n)}(x)$$

隐函数求导

对于隐函数 ( F(x, y) = 0 )，其导数为：

$$y’ = -\frac{F_x}{F_y}$$

其中：

$$
F_x = \frac{\partial F}{\partial x}, \quad F_y = \frac{\partial F}{\partial y}
$$

参数方程求导

对于参数方程 ( x = x(t) )，( y = y(t) )，其导数为：

$$y’ = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

反函数求导

若 ( y = f(x) ) 有反函数 ( x = f^{-1}(y) )，则：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y’}$$

对数求导法

对于形如 ( y = [f(x)]^{g(x)} ) 的函数，可以先取对数再求导：

$$\ln y = g(x) \ln f(x)$$

对两边求导：

$$\frac{y’}{y} = g’(x) \ln f(x) + g(x) \frac{f’(x)}{f(x)}$$

整理得：

$$y’ = y \left[ g’(x) \ln f(x) + g(x) \frac{f’(x)}{f(x)} \right]$$